Faserverstaerker, Unschaerfe, Welle contra Teilchen, Schwebu

Mon Jul 26, 2010 11:25 pm   

X-Post de.sci.electronics, de.sci.physik
F'up de.sci.electronics

Moin!

Bräuchte mal wieder etwas Nachhilfe in praktischer Quantenphysik...

I) Überlagert man Licht unterschiedlicher Wellenlängen und gleicher
Polarisation auf einem Detektor, so überlagern sich die Felder beider
Wellen additiv. Die dabei entstehende Schwebung nimmt der Detektor im
Rahmen seiner Bandbreite auf.
Dieses Phänomen lässt sich meiner Kenntnis nach nur anhand des Modells
elektromagnetischer Wellen erklären.

II) Licht überträgt Energie quantisiert in Form von Photonen. Bei
Aussendung und der Empfang handelt es sich um statistische Prozesse,
so daß die Anzahl der in einem gegebenen Zeitraum empfangenen Photonen
poissonverteilt ist. Die Folge ist ein Quanten- oder Schrotrauschen,
welches sich auf die Quantisierung (und damit nur aufs Teilchenmodell)
zurückführen lässt.

Nun treffen in einer praktischen Anwendung diese beiden Phänomene
aufeinander: Auf einem Photodetektor wird dem Licht mit relativ hoher
Intensität bei einer Frequenz ein wenig Licht mit sehr niedriger
Intensität bei einer anderen Frequenz überlagert.

Wie schaut nun das Signal aus, wenn nur wenige Photonen - oder sagen
wir, als Grenzfall, ein einziges Photon - einer Frequenz mit vielen
Photonen einer anderen Frequenz zusammentreffen? Nach dem Modell der
elektromagnetischen Welle käme immernoch ein Schwebungssignal heraus.
Allerdings so kurz, wie das Signal dauert. Nur wie lange "dauert" ein
Photon? Okay, nehmen wir ein Signal unendlicher Dauer: Ein Photon pro
Sekunde. Das gibt gemäß der Welle ein schönes Schwebungssignal, klar
tief im Rauschen, aber trotzdem ist es theoretisch ein Sinus, der da
vom Rauschen überlagert wird.
Und nach dem Teilchenmodell? Da würde das einzelne Photon alleine
einen Spike je Sekunde machen. Und zusammen mit dem Licht der anderen
Frequenz?

An diesem Punkt bin ich am Ende meiner Vorstellungskraft angekommen.
Kann ich hier ein SNR bestimmen, indem ich das Signal aus dem
Wellenmodell dem Schrotrauschen beider Lichtquellen gegenüberstelle?
Das wär doch zu einfach, oder?


Okay, setzen wir einen drauf: Wie genau ist eigentlich die Frequenz
eines Photons bestimmt? Aus der Unschärferelation des Ortes und des
Impulses lässt sich die Energie-Zeit-Unschärferelation
delta_E * delta_t > h ableiten, welcher durch Einsetzen von E=h*f zu
delta_f * delta_t > 1 umgeformt werden kann.

Schön. Doch auch hier stellt sich wieder die Frage: Was zum Henker ist
bitte delta_t beim Photon?


Nun hat mich genau dieses im Zusammenhang mit Faserverstärkern
interessiert, und siehe da, dort wird delta_t mit der Lebensdauer der
angeregten Zustände gleichgesetzt. Das hat mich doch sehr verwundert,
da es hierbei gar nicht mehr um eine Frequenzunschärfe des empfangenen
Photons geht. Andererseits frage ich mich, ob das angeregte Elektron
zum Zeitpunkt der stimulierten Emission überhaupt von seiner
statistischen Lebensdauer "weiß" und sich deshalb auch von der
falschen Frequenz stimulieren lässt, oder ob die Lebensdauer nicht
eigentlich nur das Verhältnis der durch das Eingangssignal erzeugten
Ausgangsleistung zur Leistung der ASE bestimmt und die berechnete
Unschärfe nur theoretisch durch die Berücksichtigung der ASE entsteht.

Kurzum: Kommt es hierbei tatsächlich zu einer spektralen Verbreiterung
des optischen Signals, oder wird lediglich eine breitbandige ASE
hinzugefügt?


Wo wir schon dabei sind: In der Elektronik wird die Rauschzahl eines
Verstärkers aus dem Quotienten von Ausgangs- zu Eingangsrauschleistung
berechnet, wobei die Eingangsrauschleistung dem thermischen Rauschen
der Generatorimpedanz bei Raumtemperatur gleichgesetzt wird.

Für Faserverstärker wird ebenfalls eine Rauschzahl angegeben, deren
quantentheoretisches Optimum bei 3dB liegt (warum auch immer). Nur was
bitte ist hier die Bezugsgröße? Habe ich kein Eingangssignal, dann
kommt am Ausgang immernoch ASE raus. Ließe sich aus dieser, mittels
Teilen durch die Verstärkung, nicht wie beim elektronischen Verstärker
eine äquivalente Eingangsrauschleistung angeben?

Wieviel Rauschen kommt denn bei einem Faserverstärker mit Rauschzahl
4dB ohne Eingangssignal raus? Und mit Eingangssignal? Ist es mit
Eingangssignal ein Intensitätsrauschen bei Frequenz des verstärkten
Lichts? Oder ein spektral breitbandiges ASE-Rauschen?


Einen hab ich noch: Nun nehmen wir an, wir schicken ein Photon pro
Sekunde in einen Faserverstärker mit 30 dB und - schwupps - kommen
dafür 1000 Photonen pro Sekunde bei der gleichen (oder ähnlichen,
s.o.) Frequenz wieder raus. Und dieses Licht wird jetzt wieder auf dem
Photodetektor dem Licht einer anderen Frequenz überlagert. Nun tun
einem die 1000 Photonen ja nicht den Gefallen, sich über einen
längeren Zeitraum gleichmäßig zu verteilen, sondern sie kommen in
Paketen raus, immer wenn ein Photon reinkam. Aber wie lange dauert nun
so ein Paket in einem singlemode-Faserverstärker? So lange wie ein
einzelnes Photon?

So gesehen würde der Verstärker das Signal und das Schrotrauschen in
gleicher Weise verstärken. Wäre das gesamte Rauschen aber nach wie vor
vom Detektor und dem Schrotrauschen des leistungsstärkeren Lichts bei
der anderen Frequenz dominiert, müsste dann im obigen Beispiel
trotzdem ein SNR-Gewinn von nahezu 30 dB (abzüglich Rauschzahl des
Verstärkers?) drin sein?

Dank und Gruß,
(und wer bis hierhin durchgehalten hat, der hat sich auf jeden Fall
schonmal nen Keks verdient...)
Michael.

Tue Jul 27, 2010 12:41 am   

Michael Eggert <m.eggert.nul_at_web.de> wrote in
news:mtsr469r2u7ejmjgan61pb5p9qho57qgse_at_4ax.com:


mit dem Teilchen selber nichts zu tun hat.

--
Selber denken macht klug.

Tue Jul 27, 2010 8:45 am   

Michael Eggert schrieb:


Hallo,

das funktioniert praktisch doch nur wenn das Licht genügend kohärent ist.

Bye

Tue Jul 27, 2010 8:55 am   

Vogel wrote:

Moin!


Und wie lange betrachtet so ein Detektor ein Photon, bis er es
absorbiert hat?


Ich wollts nur gern verstehen.

Gruß,
Michael.

Tue Jul 27, 2010 9:39 am   

Michael Eggert <m.eggert.nul_at_web.de> writes:


Wenn er es noch nicht absorbiert hat, hat er es noch nicht betrachtet.
Es gibt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung dafür, wann das passieren
kann.

--
David Kastrup

Tue Jul 27, 2010 10:15 am   

Michael Eggert:

Ein Lichtquant ist ein unteilbarer Wellenzug, der (da unteilbar) als
ein Teilchen betrachtet werden kann. Unteilbarkeit von Wellenzuegen
ist eine Voraussetzung der Spektralabbildung von Zeitsignalen.

Das ist ein unteilbarer Wellenzug:
__
/ \
\__/

Eine volle Schwingung. Nicht mehr, nicht weniger.

Ein Sinus-Signal, das kuerzer dauert, kann nicht auf eine einzige
Frequenz abgebildet werden. Es muss gemaess der Fourierzerlegung
als Ueberlagerung unterschiedlicher sinusfoermiger Wellenzuege
mit jeweils voller Dauer gedeutet werden.[1]



Du verwechselst h und h_ = h/(2*pi), mit h = 6.6262e-34 Js ...


... und deshalb fehlt hier 2*pi.

Es gibt eine sogenannte "Unschaerferelation der Nachrichtentechnik",
die das minimale Zeitdauer-Bandbreite-Produkt eines Signals bestimmt.
Sie ist ein rein mathematisch hergeleiteter Satz, der physikalische
Konstanten wie das Plancksche Wirkungsquantum h nicht einmal erwaehnt.



Das heisst: Kein Keks fuer mich.


[1] Ich habe mit dieser Erklaerung Fourier, Dirichlet etc. in eine
einzige Kiste gestopft und so lange auf sie eingedroschen, bis das
Blut rauslief. Ich bitte die ansaessigen Pedanten um Vergebung.

Tue Jul 27, 2010 10:42 am   

Mirko Liss wrote:


Auch Dein "Wellenzug" oben kann nicht auf eine einzige Frequenz
abgebildet werden: Ein Diracimpuls im Frequenzbereich ist im Zeitbereich
unendlich ausgedehnt.


Auch die Fourieranalyse geht von zeitlich unendlich ausgedehnten
Signalen aus.


Ist das da oben eigentlich eine selbst ausgedachte Theorie?

Gruß
Henning

Tue Jul 27, 2010 10:45 am   

On Jul 26, 3:25 pm, Michael Eggert <m.eggert....@web.de> wrote:

Tue Jul 27, 2010 10:46 am   

Mirko Liss <mirkoliss_at_web.de> writes:


Ein Sinussignal, das kürzer als unendlich lange dauert, kann nicht auf
eine einzige Frequenz abgebildet werden. "eine volle Schwingung" ist da
in keinster Weise gegenüber anderen Beschneidungen bevorzugt.

Wenn wir als Beispiel mal eine solche "Einzelschwingung" der Zeitdauer 1
nehmen, die um den Nullpunkt angelegt ist (also -cos(2 pi t) * rect(t)),
dann kommt als Fouriertransformierte

F(f) = -sin(pi (f+1))/(pi (f+1)) - sin(pi (f-1))/(pi (f-1))

(mit den stetigen Fortsetzungen an den Nullstellen der Nenner) heraus.


Endliche Kiste -> unendliches Spektrum.

--
David Kastrup

Tue Jul 27, 2010 10:52 am   

David Kastrup <dak_at_gnu.org> wrote:


Und um den Bogen zur Praxis zu spannen, aus gutem Grund gibt es als
Zulassungsvoraussetzung für Sender üblicherweise auch Vorgaben zum
power ramping. Man will eben nicht bei jeder Tastung das ganze
Spektrum zugemüllt haben, auch nicht mit einem kurzen "Knackser".


-ras

--

Ralph A. Schmid

http://www.dk5ras.de/ http://www.db0fue.de/
http://www.bclog.de/

Tue Jul 27, 2010 11:33 am   

Uwe Hercksen wrote:

Moin!


Die Kohärenz ist doch auch nur eine Hilfsgröße, welche letztendlich auch
durch die Quanteneffekte reduziert wird?

Gruß,
Michael.

Tue Jul 27, 2010 11:44 am   

Mirko Liss wrote:

Moin!


Jau, sorry!


Genau. Nur sollte man daraus nicht fälschlicherweise schließen, daß man
die Grundfrequenz nicht - abhängig vom SNR - auch weit genauer bestimmen
kann als die Bandbreite vorzugeben scheint.

Gruß,
Michael.

Tue Jul 27, 2010 2:53 pm   

Gregor Scholten <g.scholten_at_gmx.de> writes:


Jetzt hast Du es kaputtgemacht.

--
David Kastrup

Tue Jul 27, 2010 3:54 pm   

Michael Eggert schrieb:


Hallo,

trotzdem gelingen mit einem Laser solche Überlagerungen die mit dem
Licht einer Glühbirne nicht gelingen. Der Laser muß natürlich die nötige
Kohärenzlänge haben.

Bye

Tue Jul 27, 2010 4:19 pm   

On 27 Jul., 00:25, Michael Eggert <m.eggert....@web.de> wrote:

"nur Wellenmodell", "nur Teilchenmodell" - das klingt so, als würdest
du vom Konzept des Welle-Teilchen-Dualismus ausgehen, das in der
Anfangszeit der Quantenphysik diskutiert wurde. Seit 1925 kann man
dieses Konzept als überholt ansehen, seither gibt es eine Formulierung
der Quantentheorie, die beides zum übergeordneten Konzept des
Quantenobjekts vereint. Unterscheiden muss man hier allerdings noch
zwischen der sog. "ersten" und "zweiten" Quantisierung. Bei der ersten
Quantisierung geht man von einer konstanten Teilchenzahl aus, was z.B.
für nichtrelativistische Elektronen sinnvoll ist, während für
elektromagnetische Strahlung die zweite Quantisierung besser geeignet
ist, die Änderungen der Teilchenzahl erlaubt, was dazu passt, dass
Photonen leicht erzeugt und vernichtet werden können. Quantisiert wird
bei der zweiten Quantiserung nicht nur das einzelne Teilchen, sondern
auch das zugehörige Feld, in diesem Fall das elektromagnetische Feld.



machen wir der Einfachheit halber erste Quantisierung mit Photonen,
d.h. wir nehmen eine feste Photonenzahl von 1 an. Das eine Photon wird
zwar im Detektor absorbiert, so dass die Photonenzahl sich auf null
ändert, aber zumindest alles was vor der Detektion passiert lässt
durch Photonenzahl = 1 beschreiben. Der Quantenzustand dieses einen
Photons sei eine Superposition aus einem Einphotonzustand hoher
Frequenz und einem Einphotonzustand niedriger Frequenz:

|psi> = a * |f1> + b * |f2>



wie in der Quantenphysik üblich, kommt es hier sehr stark darauf an,
was genau eigentlich gemessen werden soll. Arbeitet der Detektor als
Frequenzanalysator? Dann detektiert er bei dem oben beschriebenen
Photon entweder ein Photon mit der Frequenz f1 oder eines mit der
Frequenz f2. Ein so arbeitender Detektor würde aber auch klassisch im
Wellenmodell nur das Signal in der Frequenzdomäne, mit zwei Peaks bei
f1 und f2 messen, nicht das typische Schwebungssignal in der
Zeitdomäne von der Form

E(t) = cos((f1 + f2) t / 2) cos((f1 - f2) t / 2)

Ein anderer Detektor hingegen, der klassische das Signal in der
Zeitdomäne messen würde, liefert für ein einzelnes Photon nur einen
kurzen Puls. Das hat überhaupt nichts mit der "Dauer" des
Photonenzustandes vor der Messung zu tun, hier spielt das
Charakteristikum des quantenmechanischen Messprozesses hinein: der
quantenmechanischen Zustand |psi> vor der Messung macht nur eine
Wahrscheinlichkeitsaussage über den Ausgang der Messung. Bei der
Frequenzmessung sind |a|² und |b|² die Wahrscheinlichkeiten dafür, die
Frequanz f1 oder f2 zu messen. Analog gibt ein Photonenzustand
endlicher Dauer T an, dass über einen Zeitraum T hinweg die
Wahrscheinlichkeit, ein Photon zu detektieren, besonders groß ist.

Wenn du dich nicht dafür interessierst, wie ein mögliches Messergebnis
aussieht, sondern eher dafür, wie du dir einen Einphotonzustand vor
der Messung theoretisch anschaulich vorstellen kannst, so betrachtest
du am besten einen Einphotonzustand scharfer Frequenz f. Außerdem
nimmst du an, das Photon sei in einen Resonator der Länge L
eingesperrt, wobei gelte, dass die Auslenkung der elektrischen
Feldstärke an den Enden des Resonators null ist, so dass nur ganz
bestimmte Wellenlängen lambda = 2L/n, mit n=1,2,3,..., zugelassen
sind. Die Frequenz f des Photons muss dann mit einer dieser
Wellenlängen zusammenpassen: f = c/lambda = n c/(2L). Dann nimmst du
noch an, dass sich das Photon nur in Längsrichtung des Resonators
ausbreite. Dann folgt aus der Quantentheorie, genauer: aus der
Quantenfeldtheorie, der Formulierung der QT als zweite Quantisierung,
dass der Einphotonzustand einer stehenden EM-Welle im Resonator mit
der besagten Wellenlänge und Frequenz entspricht, wobei allerdings die
Phase unbestimmt ist: es ist unbestimmt, ob an einen Punkt im
Resonator die elektrische Feldstärke ihren Maximal- oder Minimalwert
oder einen Wert dazwischen hat, d.h. die Feldstärke E zeigt eine
Unschärfe Delta_E. Auch die Amplitude ist mit einer Unschärfe
behaftet, für sie lässt sich jedoch ein Erwartungswert angeben, der
von der Resonatorlänge L abhängt (deswegen auch die Betrachtung des
Resonators, im freien Raum wäre die Amplitude nicht berechenbar, bzw.
nur über die Grenzfallbetrachtung eines Resonators mit gegen unendlich
gehener Länge).

Daraus ergibt sich auch direkt ein Bild für Zustände mit anderen
Photonenzahlen als 1: sei N die Zahl der Photonen mit der Frequenz f,
so ist das Quadrat der Amplitude proportional zu (N + 1/2) f.
Interessanterweise verschwindet die Amplitude damit auch für N=0, dem
Vakuumzustand ganz ohne Photonen nicht. Hier wie auch an anderen
Stellen äußert sich, dass sich die Mode des elektromagnetischen
Strahlungsfeldes mit der Frequenz f ähnlich einem quantenmechanischen
harmonischen Oszillator behandeln lässt. Bei dem ist die Phase
ebenfalls unscharf, und es gibt dort eine Quantenzahl N, die der
Photonenzahl analog ist.

Will man Photonen nicht in einem Resonator, sondern im freien Raum
betrachten, wird es noch etwas komplizierter. Allerdings gibt es einen
interessanten Effekt: man kann Zustände unterschiedlicher Photonenzahl
überlagern, so dass dann die Photonenzahl selbst unscharf wird. Dabei
bekommt man dann etwas, was man bei Zuständen scharfer Photonenzahl
nicht hat, nämlich eine wohldefinierte Phase. Es zeigt sich, dass
zwischen Photonenzahl und Phase eine Unschärfebeziehung besteht: je
genauer die Zahl der Photonen festgelegt ist, desto unbestimmter ist
die Phase, und umgekehrt.



wenn du zwei Photonen nimmst, eines mit der Frequenz f1 und eines mit
f2, bekommst du im Frequenzanalysator zwei Peaks bei f1 und f2, und
bei einem Detektor, der in der Zeitdomäne arbeitet, bekommst du zwei
Spikes zu zwei Zeiten t1 und t2, die ggf. gleich sind.



da kann ich mir jetzt nicht ganz so viel drunter vorstellen. Ich
hoffe, meine bisherigen Erläuterungen konnten dir schon weiterhelfen?



du siehst: ein Photonenzustand scharfer Frequenz hat eine große
"Dauer" in der Zeit. Wenn du allerdings misst, wann ein Photon im
Detektor ankommt, bekommst du einen einen sehr kurzen
Auftreffaugenblick, einen "Spike" wie du oben sagtest. Willkommen beim
quantenmechanischen Messprozess! ;-)



das, was bei der klassischen Welle die Kohärenzdauer ist. Je
schmalbandiger ein klassisches Wellenpaket ist (je kleiner delta_f),
desto länger ist das Paket in der Zeitdomäne. In der QT gilt das dann
analog für den Photonenzustand.



das geht so: nicht nur Photonen, sondern auch Elektronen gehorchen der
Quantentheorie. Das Elektron hat einen quantenmechanischen Zustand |
psi>, der bei t = 0 dem angeregten Zustand entspricht. Nun geht der
Zustand |psi> aber nicht zu einem wohldefinierten Zeitpunkt t0 > 0
abrupt in den Grundzustand über und emittiert zu genau diesem
Zeitpunkt ein Photon, sondern nur allmählich, über einen Zeitraum, der
ungefähr der mittleren Zerfallsdauer entspricht. Der Zerfallszeitpunkt
ist sozusagen "unscharf", so dass die mittlere Zerfallsdauer (oder
Lebensdauer, wie du sagst) gerade einer Zeitunschärfe delta_t
entspricht. Hier sehen wir wieder den Bezug zum Messprozess: wenn man
misst, wann ein Zerfall eintritt, bekommt man immer einen scharfen
Messwert für den Zerfallszeitpunkt, aber wenn man nicht misst, ist der
Zerfallszeitpunkt unbestimmt. Und während dieses allmählichen
Überganges aus dem angeregten Zustand in den Grundzustand wird ebenso
"allmählich" ein Photon emittiert. Die Dauer des Photonenzustandes
entspricht somit einer Unschärfe des Emissionszeitpunktes, und diese
wiederum der Unschärfe des Zerfallszeitpunktes des angeregten
Elektronenzustandes.



da kann ich dir leider nicht so viel zu sagen, da ich nicht so der
Experte in Sachen Messtechnik bin. Ich bin eher der Theoretiker, wie
man vielleicht erkennen kann ;-)



würde ich auch drauf tippen. Je nachdem, was in diesem Faserverstärker
so abläuft (da verstehe ich wie gesagt nicht viel von), könnte es auch
länger sein.



bin leider nicht so der Kekse-Fan. Die sind mir zu trocken.